Вопросы к экзамену
Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика»
Вопросы к экзамену за 1 семестр.
- Понятие множеств. Операции над множествами. Способы задания множеств.
- Функции, способы их задания, обратные функции.
- Элементарные функции их графики и свойства.
- Преобразование графиков функции.
- Предел последовательности. Понятие сходимости. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Действия над сходящимися последовательностями.
- Понятия бесконечно малых и бесконечно больших переменных и их свойства. Сравнение бесконечно малых.
- Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация.
- Предел функции. Арифметические операции над функциями, обладающими пределом.
- Замечательные пределы. Предел сложной функции.
- Понятие производной. Геометрический, экономичский и механический смысл. Производные основных элементарных функций. Примеры.
- Правила дифференцирования. Дифференцирование обратной функции. Дифференцирование обратной функции. Примеры.
- Теоремы Ферма, Ролля.
- Теоремы Лагранжа, Коши.
- Признаки монотонности функции. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.
- Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие существования экстремума функции. Примеры.
- Правила Лопиталя, примеры.
- Выпуклые и вогнутые функции, точки перегиба. Примеры.
- Производные высших порядков. Теорема о конечном приращении и ее следствия.
- Асимптоты. Построение графиков функций с использованием производных.
- Использование понятия предела и функции в социально-экономической сфере. Функции в социологии и психологии, экономике (функции спроса, полезности).
- Предел в социально-экономической сфере. Непрерывное начисление процентов. Паутинообразная модель рынка.
- Применение дифференциального исчисления в социально-экономической сфере. Предельные величины в экономике. Примеры максимизации и оптимизации прибыли. Минимизация средних издержек. Использование логарифмической производной в экономике.
- Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства.
- Таблица первообразных.
- Интегрирование по частям, замена переменной в неопределенном интеграле, примеры.
Вопросы к экзамену за 2 семестр.
- Определенный интеграл и его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
- Интегрирование по частям, замена переменной в определенном интеграле, примеры.
- Теорема о среднем, неравенства для интегралов.
- Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь фигуры. Объем тела вращения.
- Использование интеграла в социально-экономической сфере.
- Несобственные интегралы первого и второго рода. Примеры.
- Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.
- Понятие функции многих независимых переменных
- Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. Примеры.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности для частных производных.
- Производная сложной функции нескольких переменных.
- Производная вдоль вектора, по направлению. Экономический, геометрический, механический смысл.
- Градиент и его свойства.
- Необходимое и достаточное условие экстремума функций многих переменных.
- Числовой ряд. Основные признаки сходимости.
- Ряды с положительными и знакопеременными членами и их сходимость.
- Степенные ряды. Свойства сходимости. Теорема Абеля.
- Функциональные ряды. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- Вычисление объема выпущенной продукции. Степень неравенства в распределении доходов.
- Прогнозирование материальных затрат. Задача дисконтирования денежного потока.
- Прогнозирование объемов потребления электроэнергии.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- Разложение функций в степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье.
- Кратные интегралы и повторные интегралы.
- Понятие матрицы. Квадратные матрицы. Действия с матрицами. Умножение матрицы на число и сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матриц.
- Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца. Теорема Лапласа.
- Обратная матрица.
- Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- Системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.
- Система m уравнений с n переменными. Разрешенные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Жордановы преобразования систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Общее решение системы линейных уравнений. Базисные решения систем линейных уравнений.
- Теорема Кронекера-Капелли.
- Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- Собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
- Собственные векторы матрицы Алгоритм нахождения всех собственных векторов матрицы.
- Классическая формула вероятности.
- Геометрические вероятности
- Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- Формула полной вероятности.
- Формула Байеса.
- Формула Бернулли.
- Асимптотические формулы.
- Числовые характеристики случайной величины.
