Вопросы к экзамену
Вопросы для подготовки к зачету по дисциплине «Линейная алгебра»
- Понятие матрицы. Квадратные матрицы. Действия с матрицами. Умножение матрицы на число и сложение матриц. Умножение матрицы на вектор. Умножение матриц.
- Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца. Теорема Лапласа.
- Обратная матрица.
- Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- Системы линейных уравнений с квадратной матрицей. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.
- Система m уравнений с n переменными. Разрешенные системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Метод Гаусса. Жордановы преобразования систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. Общее решение системы линейных уравнений. Базисные решения систем линейных уравнений.
- Теорема Кронекера-Капелли.
- Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- Собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
- Собственные векторы матрицы Алгоритм нахождения всех собственных векторов матрицы.
- N-мерные векторы. Линейные операции над n-мерными векторами. Скалярное произведение и длина n-мерных векторов. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольников.
- Угол между n-мерными векторами. Теорема о равенстве двух ненулевых векторов. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. Теорема о коллинеарности двух векторов.
- Разложение вектора по системе векторов.
- Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов. Основные утверждения.
- Базисы системы векторов. Теорема о существовании базиса и единственности разложения каждого вектора системы по векторам ее базиса.
- Уравнение прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
- Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Положение плоскости относительно координатных осей.
- Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Определение вида кривой по уравнению. Полярные координаты на плоскости.